第二章习题

2-1

题目 2.1：设 m(t) 是功率为 2 W 的实信号，求 z(t) = m(t) + j·2m(t) 的功率

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1. 相关知识点介绍

这道题考察的是信号平均功率的基本计算方法，特别是针对复数信号的功率计算。

在通信原理中，信号可以分为能量信号和功率信号。功率信号是指在无限长时间内，其平均功率是有限的非零常数，而能量是无限的。这道题中的 m(t) 就是一个功率信号。

对于一个复数信号 z(t) = x(t) + j·y(t)，它的总功率等于其实部 x(t) 的功率与虚部 y(t) 的功率之和。这是因为信号的功率被定义为其瞬时功率（即幅值平方）在时间上的平均，而复数幅值的平方 $|z(t)|^2$ 正好等于 $x(t)^2 + y(t)^2$

在您的知识清单中，这个知识点对应于：

• 确定性信号分析 -> 1. 功率谱、功率密度谱的计算 (功率是功率谱密度在整个频率轴上的积分)
• 随机信号分析 -> 2. 数字特征 -> 6. 平均功率 (更直接的定义)

2. 使用的公式

1. 功率信号的平均功率定义：

对于一个（可能是复数）信号 s(t)，其平均功率 P 定义为：

$$P_s = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |s(t)|^2 dt$$

如果信号是随机过程，则功率是其二阶矩：$P_s = E[|s(t)|^2]$

2. 复数信号的模的平方：

对于复数信号 z(t) = x(t) + j·y(t)，其模的平方为：

$$|z(t)|^2 = z(t) \cdot z^*(t) = x(t)^2 + y(t)^2$$

其中 $z^*(t)$ 是 z(t) 的共轭

3. 复数信号的功率：

将公式 (2) 代入公式 (1)，可得复数信号 z(t) 的功率 $P_z$：

$$P_z = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} [x(t)^2 + y(t)^2] dt$$ $$P_z = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)^2 dt + \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} y(t)^2 dt$$ $$P_z = P_x + P_y$$

这表明，复信号的总功率等于其实部信号的功率与虚部信号的功率之和

3. 解题思路和步骤

步骤 1：分解复信号 z(t) 的实部和虚部

根据题目，信号 z(t) = m(t) + j·2m(t)

• 实部为：x(t) = m(t)
• 虚部为：y(t) = 2m(t)

步骤 2：计算实部的功率 $P_x$

实部 x(t) 就是 m(t)。题目已经给出 m(t) 的功率为 2 W 所以，$P_x = P_m = 2$ W。

步骤 3：计算虚部的功率 $P_y$

虚部 y(t) = 2m(t)

我们来计算它的功率 $P_y$：

$$P_y = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} [y(t)]^2 dt = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} [2m(t)]^2 dt$$ $$P_y = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} 4 \cdot m(t)^2 dt$$

将常数 4 提出：

$$P_y = 4 \cdot \left( \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} m(t)^2 dt \right)$$

括号内的部分正好是 m(t) 的功率 P_m 的定义。 所以，$P_y = 4 \cdot P_m = 4 \times 2 = 8$ W

步骤 4：计算 z(t) 的总功率 $P_z$

根据公式 $P_z = P_x + P_y$，我们将实部和虚部的功率相加：

$$P_z = 2 \text{ W} + 8 \text{ W} = 10 \text{ W}$$

结论： 信号 z(t) 的功率为 10 W

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2-2

题目 2.2：考虑题 2.2 图中的 4 个信号，求它们两两之间的内积

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1. 相关知识点介绍

这道题的核心知识点是信号的内积（Inner Product）与信号的正交性（Orthogonality）

1. 信号的内积： 在信号分析中，我们常常把信号类比为矢量

正如矢量的点积（内积）可以衡量两个矢量的相似程度（或夹角），信号的内积也用于衡量两个信号在某个时间范围内的相似性或相关性。如果两个信号波形越 “像”，它们的内积绝对值就越大；如果它们波形差异很大，内积就可能很小甚至为零

2. 信号的正交性： 如果两个非零信号的内积为零，我们就称这两个信号是正交的

这是一个在通信系统中极其重要的概念。正交的信号互不相关，可以被完美地区分开。这构成了许多现代通信技术的基础，例如：

• 正交频分复用 (OFDM)：将高速数据流分成多个低速子流，在大量相互正交的子载波上进行传输，大大提高了频谱利用率
• 码分多址 (CDMA)：为不同用户分配相互正交的地址码（伪随机序列），使得多个用户的信号可以在同一时间和同一频率上传输而互不干扰

3. 信号的能量： 一个信号与自身的内积，在物理上等于该信号的总能量

这道题中的四个信号都是在有限时间内不为零的，因此它们都是能量信号

在知识清单中，这个知识点主要对应于：

• 确定性信号分析 -> 3. 能量信号、功率信号的自相关函数、互相关函数的关系和计算。信号的内积可以看作是两个信号互相关函数在零延迟（τ=0）时的取值。
• 确定性信号分析 -> 2. 能量谱、能量密度谱的计算。信号的能量是其与自身的内积，也是其能量谱密度在整个频率轴上的积分。

2. 使用的公式

1. 信号内积的定义：

对于两个实数能量信号 f(t) 和 g(t)，它们的内积 $<f(t), g(t)>$ 定义为：

$$<f(t), g(t)> = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(t) dt$$

这个积分计算的是两个信号乘积曲线下的面积

2. 信号正交的条件：

两个信号 f(t) 和 g(t) 正交，当且仅当：

$$<f(t), g(t)> = 0$$

3. 信号能量的定义：

信号 f(t) 的能量 $E_f$ 定义为：

$$E_f = \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = <f(t), f(t)>$$

3. 解题思路和步骤

我们需要计算 6 对信号的内积：$<w,x>, <w,y>, <w,z>, <x,y>, <x,z>, <y,z>$

基本思路是：确定两个信号同时不为零的时间区间，然后在这个区间上对它们的乘积进行积分

Step 0: 信号的数学表达式

• w(t): 在 [0, 2T] 区间为 1
• x(t): 在 [0, T] 区间为 1
• y(t): 在 [T, 2T] 区间为 1
• z(t): 在 [0, T] 区间为 1，在 [T, 2T] 区间为 -0.5

Step 1: 计算 <w(t), x(t)>

• 重叠区间: [0, T]

• 乘积: $w(t)x(t) = 1 * 1 = 1$

• 积分:

  $$<w(t), x(t)> = \int_{0}^{T} 1 \cdot 1 \,dt = [t]_{0}^{T} = T$$

Step 2: 计算 <w(t), y(t)>

• 重叠区间: [T, 2T]

• 乘积: $w(t)y(t) = 1 * 1 = 1$

• 积分:

  $$<w(t), y(t)> = \int_{T}^{2T} 1 \cdot 1 \,dt = [t]_{T}^{2T} = 2T - T = T$$

Step 3: 计算 <w(t), z(t)>

• 重叠区间: [0, 2T]，但 z(t) 是分段函数，所以积分也要分段
• 积分: $$<w(t), z(t)> = \int_{0}^{2T} w(t)z(t) \,dt = \int_{0}^{T} 1 \cdot 1 \,dt + \int_{T}^{2T} 1 \cdot (-0.5) \,dt\\= [t]_{0}^{T} + [-0.5t]_{T}^{2T} = T + (-0.5 \cdot 2T - (-0.5 \cdot T)) = T - 0.5T \\= 0.5T$$

Step 4: 计算 <x(t), y(t)>

• 重叠区间: x(t) 的非零区间是 [0, T]，y(t) 的非零区间是 [T, 2T]。它们没有重叠部分（只有一个点 T 重合，对积分无影响）
• 乘积: x(t)y(t) = 0 对所有 t 成立
• 积分: $$<x(t), y(t)> = \int_{-\infty}^{\infty} 0 \,dt = 0$$
• 结论: 信号 x(t) 和 y(t) 是正交的。

Step 5: 计算 <x(t), z(t)>

• 重叠区间: [0, T]
• 乘积: x(t)z(t) = 1 * 1 = 1
• 积分: $$<x(t), z(t)> = \int_{0}^{T} 1 \cdot 1 \,dt = [t]_{0}^{T} = T$$

Step 6: 计算 <y(t), z(t)>

• 重叠区间: [T, 2T]

• 乘积: y(t)z(t) = 1 * (-0.5) = -0.5

• 积分:

  $$<y(t), z(t)> = \int_{T}^{2T} 1 \cdot (-0.5) \,dt = [-0.5t]_{T}^{2T} = (-0.5 \cdot 2T) - (-0.5 \cdot T) = -T + 0.5T = -0.5T$$

总结：

• <w(t), x(t)> = T
• <w(t), y(t)> = T
• <w(t), z(t)> = 0.5T
• <x(t), y(t)> = 0 （x(t) 和 y(t) 正交）
• <x(t), z(t)> = T
• <y(t), z(t)> = -0.5T

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2-5

这是一个非常经典和重要的题目，因为它将时域操作（加窗）、频域分析（傅里叶变换）和信号的基本属性（能量、带宽）紧密地结合在了一起

题目 2.5：求信号 g(t) = rect(t/Tₛ)cos(πt/Tₛ) 的能量、傅里叶变换、能量谱密度、主瓣带宽

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1. 相关知识点介绍

这道题综合考察了确定性信号分析中的多个核心概念。\

1. 能量信号 (Energy Signal):

一个信号如果在其整个持续时间内总能量是有限的，那么它就是能量信号

这类信号的平均功率为零。在时域上，能量信号的波形通常是“脉冲状”的，即只在有限的时间内有显著的幅值。本题中的 g(t) 是一个被矩形窗截断的余弦波，其持续时间有限 (从 $-Tₛ/2 到 +Tₛ/2$)，因此它是一个典型的能量信号

2. 傅里叶变换 (Fourier Transform):

傅里叶变换是信号分析的基石

它能将信号从我们直观感受到的时域 (time domain) 转换到频域 (frequency domain)。时域描述了信号的幅值如何随时间变化，而频域则描述了这个信号由哪些频率的正弦/余弦波组成，以及每个频率分量的“强度”和相位。g(t) 的傅里叶变换 G(f) 会告诉我们这个余弦脉冲的频率构成。

3. 能量谱密度 (Energy Spectral Density, ESD)

能量谱密度，记为 $Ψ_g(f)$，描述了信号的能量是如何在不同频率上分布的

它的物理意义是“单位频率的能量”

对 ESD 在整个频率轴上进行积分，就能得到信号的总能量

根据巴塞伐尔定理 (Parseval’s Theorem)，信号的能量谱密度就是其傅里叶变换幅度的平方，即

$$Ψ_g(f) = |G(f)|²$$

4. 带通信号与主瓣带宽 (Main Lobe Bandwidth):

信号 g(t) 是一个带通信号，因为它是由一个低通信号（矩形窗）与一个余弦载波相乘得到的

它的频谱能量集中在载波频率 $f_c$ 附近，而不是在零频附近

由于时域上的截断（乘以矩形窗），信号在频域上会产生“展宽”和“旁瓣”。主瓣是频谱中能量最集中的部分，主瓣带宽就是这个中心频带的宽度，通常定义为频谱主瓣中心两侧的第一个零点之间的距离。这是衡量信号所占用的主要频率范围的一个非常实用的指标

在知识清单中，这些知识点对应于：

• 确定性信号分析 -> 2. 能量谱、能量密度谱的计算
• 确定性信号分析 -> 4. LTI系统的输出信号、系统函数的谱计算 (其中包含了傅里叶变换作为核心工具)
• 确定性信号分析 -> 6. 带通信号、带通滤波器的等效基带表示 (本题信号就是一个典型的带通信号)

2. 使用的公式

1. 信号能量 (时域定义):

$$E_g = \int_{-\infty}^{\infty} |g(t)|^2 dt$$

2. 傅里叶变换定义:

$$G(f) = \mathcal{F}[g(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(t)e^{-j2\pi ft} dt$$

3. 能量谱密度 (ESD):

$$\Psi_g(f) = |G(f)|^2$$

4. 能量 (频域定义 - Parseval’s定理):

$$E_g = \int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2 df = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi_g(f) df$$

5. 常用傅里叶变换性质:

• 时域相乘 ↔ 频域卷积: $F[g₁(t) · g₂(t)] = G₁(f) * G₂(f)$ (卷积)

• 调制性质 (余弦相乘): 这是一个非常重要的特例，

  $$F[m(t)cos(2πf_c t)] = \frac{1}{2}[M(f - f_c) + M(f + f_c)]$$

6. 常用傅里叶变换对:

• 矩形脉冲:

  $$rect(t/τ) ↔ τ * sinc(τf)$$
  • 其中 sinc(x) = sin(πx) / (πx)

• 余弦函数:

  $$cos(2πf_c t) ↔ \frac{1}{2}[δ(f - f_c) + δ(f + f_c)]$$

3. 解题思路和步骤

我们将按顺序求解这四个量

步骤一：求傅里叶变换 G(f)

信号 g(t) 是一个低通信号 $m(t) = rect(t/Tₛ)$ 与一个载波 $cos(πt/Tₛ)$的乘积。

1. 识别低通信号及其频谱: 低通信号为 $m(t) = rect(t/Tₛ)$

   根据傅里叶变换对 $rect(t/τ) ↔ τ * sinc(τf)$，令 $τ = Tₛ$，可得其频谱为： $M(f) = Tₛ\ sinc(Tₛf)$

2. 识别载波频率: 载波为 $cos(πt/Tₛ)$

   我们将其写成标准形式 $cos(2πf_c t)$

   $2πf_c = π/Tₛ => f_c = 1/(2Tₛ)$

3. 应用调制性质: 现在使用调制性质

   $$F[m(t)cos(2πf_c t)] = \frac{1}{2}[M(f - f_c) + M(f + f_c)]$$

   将 $M(f)$ 和 $f_c$ 代入：

   $$G(f) = \frac{1}{2} \left[ T_s \text{sinc}(T_s(f - \frac{1}{2T_s})) + T_s \text{sinc}(T_s(f + \frac{1}{2T_s})) \right]$$

$$G(f) = \frac{T_s}{2} \left[ \text{sinc}(T_s f - \frac{1}{2}) + \text{sinc}(T_s f + \frac{1}{2}) \right]$$

这就是信号 g(t) 的傅里叶变换

它是由两个 sinc 函数构成的，一个中心在 $f_c$，另一个在 $-f_c$

步骤二：求能量谱密度 $Ψ_g(f)$

根据定义 $Ψ_g(f) = |G(f)|²$

$$\Psi_g(f) = \left| \frac{T_s}{2} \left[ \text{sinc}(T_s f - \frac{1}{2}) + \text{sinc}(T_s f + \frac{1}{2}) \right] \right|^2$$ $$\Psi_g(f) = \frac{T_s^2}{4} \left[ \text{sinc}(T_s f - \frac{1}{2}) + \text{sinc}(T_s f + \frac{1}{2}) \right]^2$$

由于两个 sinc 函数在频域上间隔较远，它们的重叠部分很小，通常我们主要关心这两个谱的包络形状

步骤三：求信号能量 $E_g$

我们可以通过时域积分来S求解，这通常比对复杂的频域表达式积分要简单得多S

1. 写出能量积分式:

   $$E_g = \int_{-\infty}^{\infty} |g(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \text{rect}(\frac{t}{T_s}) \cos(\frac{\pi t}{T_s}) \right]^2 dt$$

2. 利用 rect 函数的性质确定积分上下限: $rect(t/Tₛ)$ 只在 $t ∈ [-Tₛ/2, Tₛ/2]$ 区间内为 1，其余为 0。

   $$E_g = \int_{-T_s/2}^{T_s/2} \cos^2(\frac{\pi t}{T_s}) dt$$

3. 使用三角恒等式: $cos²(θ) = \frac{1}{2}(1 + cos(2θ))$

   $$E_g = \int_{-T_s/2}^{T_s/2} \frac{1}{2} \left[ 1 + \cos(\frac{2\pi t}{T_s}) \right] dt$$

4. 进行积分:

   $$E_g = \frac{1}{2} \left[ t + \frac{T_s}{2\pi} \sin(\frac{2\pi t}{T_s}) \right]_{-T_s/2}^{T_s/2}$$

$$E_g = \frac{1}{2} \left[ (\frac{T_s}{2} - (-\frac{T_s}{2})) + \frac{T_s}{2\pi} (\sin(\pi) - \sin(-\pi)) \right]$$

由于 sin(π) = 0 和 sin(-π) = 0，后面的项为 0

$$E_g = \frac{1}{2} [T_s] = \frac{T_s}{2}$$

所以，信号的总能量为 $Tₛ/2$

步骤四：求主瓣带宽 $B_{main}$

由于这两个 sinc 函数在频域上离得足够远，它们的主瓣几乎不重叠。因此，当我们分析正频率区域的频谱形状时，它完全由中心在正频率的那个 sinc 函数主导；同理，负频率区域的频谱形状由中心在负频率的那个 sinc 函数主导

在物理意义上没有负半轴，因此，当计算“主瓣带宽”时，实际上是在问：这个信号在正频率轴上占据的核心频带有多宽

1. 分析频谱结构: G(f) 的频谱在正半轴的主瓣由 $sinc(Tₛf - 1/2)$ 决定，其中心在 $Tₛf - 1/2 = 0$，即 $f = 1/(2Tₛ) = f_c$

2. 寻找主瓣的第一个零点: sinc(x) 函数的零点在 $x = ±1, ±2, ...$ 处。主瓣两侧的第一个零点对应 $x = ±1$ 令 $x = Tₛf - 1/2$，我们有：

   • $Tₛf - 1/2 = 1$ => $Tₛf = 3/2` => `f₁ = 3/(2Tₛ)$
   • $Tₛf - 1/2 = -1$ => $Tₛf = -1/2` => `f₂ = -1/(2Tₛ)$

3. 计算带宽: 主瓣带宽是这两个零点频率之差：

   $$B_{\text{main}} = f_1 - f_2 = \frac{3}{2T_s} - (-\frac{1}{2T_s}) = \frac{4}{2T_s} = \frac{2}{T_s}$$

   所以，信号的主瓣带宽为 $2/T_s$

总结：

• 傅里叶变换 G(f): $(Tₛ/2) [sinc(Tₛf - 1/2) + sinc(Tₛf + 1/2)]$
• 能量 E_g: $Tₛ/2$
• 能量谱密度 Ψ_g(f): $(Tₛ²/4) [sinc(Tₛf - 1/2) + sinc(Tₛf + 1/2)]²$
• 主瓣带宽 B_main: $2/T_s$

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2-6

这道题虽然看起来简单，但它引出了一个在信号处理中非常有用的技巧：当一个域（时域或频域）的计算很复杂时，可以切换到另一个域去解决

题目 2.6：求信号 sinc(t/T) 的能量

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1. 相关知识点介绍

1. 信号能量

对于一个能量信号 g(t)，其总能量是在其整个持续时间内瞬时功率（即幅值平方）的积分；能量的计算可以在时域完成，也可以在频域完成。

2. 巴塞伐尔定理 (Parseval’s Theorem)

巴塞伐尔定理指出，信号在时域计算出的总能量，与它在频域计算出的总能量完全相等；这就像能量守恒定律在信号处理领域的体现。

这个定理给了我们极大的灵活性。如果一个信号在时域的积分 $∫|g(t)|² dt$ 很难计算（比如本题的 $∫sinc²(t/T) dt$），但它的傅里叶变换 G(f) 形式很简单，我们就可以转而计算频域的积分 $∫|G(f)|² df$，反之亦然。

3. 傅里叶变换的对偶性

对偶性是傅里叶变换一个优美而深刻的性质。它指出，如果一个特定的波形形状 g(t) 在时域对应着 G(f) 的频谱形状，那么把频谱 G(f) 的形状放到时域来形成一个新信号 G(t)，这个新信号的频谱 g(-f) 将会呈现出原始时域波形的形状（只是有反褶）

它的核心思想是：时域和频域的角色可以互换

如果时域的“波形A”对应频域的“波形B”，那么把“波形B”的样子放到时域里，它所对应的频域波形就一定是“波形A”的样子（可能会有反褶和系数变化）

这就像一个对称的关系：

$$g(t) \longleftrightarrow G(f) \\ G(t) \longleftrightarrow g(-f)$$

t 和 f 的角色发生了“轮换”

简而言之：时域和频域的运算和波形存在着对称关系

4. Rect-Sinc 变换对

在傅里叶变换中，最重要的一对关系之一就是矩形函数 (rect) 和抽样函数 (sinc) 之间的变换关系

• 一个时域的矩形脉冲，对应一个频域的 sinc 函数
• 利用对偶性，一个时域的 sinc 函数，必然对应一个频域的矩形脉冲

本题的 sinc(t/T) 在时域上无限延伸，直接对它的平方进行积分很困难。但是，利用对偶性，我们知道它的频谱是一个简单的矩形脉冲。对一个矩形脉冲的平方进行积分，就变成了计算一个矩形的面积，非常简单。

在您的知识清单中，这主要关联到：

• 确定性信号分析 -> 2. 能量谱、能量密度谱的计算 (能量是能量谱密度的积分)
• 确定性信号分析 -> 4. LTI系统的输出信号、系统函数的谱计算 (傅里叶变换是核心工具)

2. 使用的公式

1. 信号能量 (时域定义):

   $$E_g = \int_{-\infty}^{\infty} |g(t)|^2 dt$$

2. 信号能量 (频域定义 - 巴塞伐尔定理)

   $$E_g = \int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2 df$$

   其中 $G(f) = F[g(t)]$

3. 基本的傅里叶变换对 (Rect-Sinc)

   $$\mathcal{F}[\text{rect}(\frac{t}{\tau})] = \tau \text{sinc}(\tau f)$$
   • rect(x): 当 |x| < 1/2 时为 1，否则为 0
   • $sinc(x) = sin(πx) / (πx)$

4. 傅里叶变换的对偶性 若 $F[g(t)] = G(f)$，则 $F[G(t)] = g(-f)$

3. 解题思路和步骤

我们的策略是：放弃在时域对 sinc² 进行积分，转而利用巴塞伐尔定理，在频域对等效的矩形脉冲的平方进行积分

步骤一：求 g(t) = sinc(t/T) 的傅里叶变换 G(f)

1. 写出已知的变换对: 我们从 rect 函数的变换开始。令 τ = T，我们有：

   $$F[rect(t/T)] = T sinc(Tf)$$

2. 应用对偶性:

   根据对偶性 $F[G(t)] = g(-f)$，我们可以把上面变换对的左右两边函数互换，并代入 t：

   • G(t) = T sinc(Tt)

   • g(-f) = rect(-f/T) 所以，$F[T sinc(Tt)] = rect(-f/T)$ 因为 rect 函数是偶函数 ($rect(x) = rect(-x)$), 所以

     $$rect(-\frac{f}{T}) = rect(\frac{f}{T})\\ F[T sinc(Tt)] = rect(\frac{f}{T})$$

3. 调整系数以匹配题目:

   我们要求的是 sinc(t/T) 的变换。将上式两边同时除以 T：

   $$F[sinc(Tt)] = (1/T) rect(f/T)$$

   现在，我们需要将 sinc(Tt) 变成 sinc(t/T)；这相当于用 1/T 替换 T。 令上式中的 T 由 1/T 替换，得到：

   $$F[sinc(\frac{t}{T})] = \frac{1}{1/T} rect(\frac{f}{1/T})G(f) = T rect(Tf)$$

   这就是 sinc(t/T) 的傅里叶变换。它是一个幅度为 T，宽度为 1/T 的矩形脉冲。

步骤二：利用巴塞伐尔定理计算能量

1. 写出频域能量积分:

   $$E_g = \int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2 df = \int_{-\infty}^{\infty} |T \text{rect}(Tf)|^2 df$$

2. 简化被积函数:

   $$|G(f)|² = T² · rect²(Tf)$$

   由于 rect 函数的值只取 0 或 1，所以

   $rect²(x) = rect(x)$

   $|G(f)|² = T² rect(Tf)$

3. 确定积分上下限: rect(Tf) 函数的定义是：

   • 当 |Tf| < 1/2 (即 |f| < 1/(2T)) 时，值为 1
   • 当 |Tf| > 1/2 (即 |f| > 1/(2T)) 时，值为 0 所以，积分的有效区间是从 -1/(2T) 到 1/(2T)

4. 计算积分:

   $$E_g = \int_{-1/(2T)}^{1/(2T)} T^2 df$$

   这是一个常数在有限区间上的积分，结果等于 $常数 × 区间宽度$ 区间宽度 = 1/(2T) - (-1/(2T)) = 1/T

   $$E_g = T^2 \cdot (\frac{1}{T}) = T$$

结论 信号 sinc(t/T) 的能量为 T

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2-9

题目 2.9：求矩形脉冲 s(t) = rect(t/T) 的自相关函数

1. 相关知识点介绍

1. 自相关函数:

自相关函数是一个信号处理中的核心概念，它描述了一个信号与其自身在不同时间延迟下的相似程度。自相关函数 R(τ) 的变量 τ 代表时间偏移量

• 物理意义：想象一下，你有一个信号波形 s(t) 和一个它的精确复制品 s(t-τ)。你将复制品向右平移 τ 的距离，然后计算这两个波形在所有时间点上乘积的积分（即内积）。这个积分值就是自相关函数在 τ 这一点的值
• 应用：自相关函数在通信、雷达、声纳等领域有广泛应用。例如，在雷达系统中，通过计算接收到的回波信号与发射信号的自相关，可以精确地找出回波相对于发射信号的延迟 τ，从而确定目标的距离。它也是从噪声中检测周期信号的有力工具

根据信号类型的不同，其定义也分为两种：

• 能量信号的自相关函数

  对于总能量有限的信号（如单个脉冲），自相关函数计算的是信号与其平移版本乘积的总积分，代表一种“总相关量”

  $$R_s(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t)s^*(t-\tau) dt$$

  对于实信号，$s^*(t-τ)$就是 $s(t-τ)$

• 功率信号的自相关函数

  对于平均功率有限而能量无限的信号（如周期信号或平稳随机过程），自相关函数计算的是信号与其平移版本乘积的时间平均值

  $$R_s(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} s(t)s^*(t-\tau) dt$$

2. 能量信号的自相关函数:

本题中的矩形脉冲是一个典型的能量信号（其总能量有限）

对于能量信号 s(t)，其自相关函数 R_s(τ) 定义为信号 s(t) 与其延迟 τ 后的版本 s(t-τ) 的乘积在时间上的积分

3. 自相关函数的核心性质：

• 最大值在原点：

  $$R_s(τ)| ≤ R_s(0)$$

  当延迟 τ=0 时，信号与自身完全重合，相似度最高

• 原点值等于能量：

  $$R_s(0) = ∫|s(t)|² dt = E_s$$

  τ=0 时的自相关值等于信号的总能量

• 偶对称性：

  $$R_s(τ) = R_s(-τ)$$

  信号向左平移和向右平移同样距离，其与原始信号的相似度是相同的

4. 维纳-辛钦定理 (Wiener-Khinchin Theorem)：

维纳-辛钦定理 是信号处理中一项极为重要的基本定理，是连接时域和频域的桥梁

它指出，能量信号的自相关函数和其能量谱密度 $Ψ_s(f) = |S(f)|²$ 构成一个傅里叶变换对

即 $R_s(τ) ↔ Ψ_s(f)$

这为计算自相关函数提供了另一条路径：先求傅里叶变换，再求其幅度的平方，最后做傅里叶逆变换

它深刻地揭示了信号在时域的相关特性和其在频域的能量/功率分布特性是等价的，它们之间通过傅里叶变换紧密联系。

这个定理同样根据信号类型分为两种情况：

• 对于能量信号

  信号的自相关函数 $R_s(τ)$ 与其能量谱密度(ESD) $Ψ_s(f)$ 互为傅里叶变换对

  $$R_s(\tau) \quad\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \Psi_s(f) = |S(f)|^2$$

  其中，能量谱密度定义为信号傅里叶变换 S(f) 的模的平方，它描述了信号的能量是如何在不同频率上分布的

  $$\Psi_s(f) = |S(f)|^2$$

• 对于功率信号

  信号的自相关函数 $R_s(τ)$ 与其功率谱密度 (PSD) $P_s(f)$ 互为傅里叶变换对

  $$R_s(\tau) \quad\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad P_s(f) = \mathcal{F}[R_s(\tau)] = \int_{-\infty}^{\infty} R_s(\tau)e^{-j2\pi f\tau} d\tau$$

  功率谱密度描述了信号的功率是如何在不同频率上分布的

维纳-辛钦定理的伟大之处在于，它为我们提供了两条分析路径：W

我们可以通过时域的积分/卷积计算自相关函数，也可以先变换到频域，计算谱密度，再通过傅里叶逆变换得到自相关函数。在很多情况下，频域路径的计算会更为简便

5. 能量谱密度 (ESD) 和功率谱密度 (PSD)

信号的谱密度 (Spectral Density)

在信号分析中，傅里叶变换 S(f) 告诉我们信号包含了哪些频率成分以及它们的相对相位，但很多时候，我们更关心一个实际问题：信号的能量或功率主要集中在哪些频率范围内？

谱密度就是回答这个问题的工具；它描述了信号的能量或功率在频域上的分布情况，就像一张“频率成分的密度图”。根据信号是能量信号还是功率信号，我们使用两种不同的谱密度。

5.1. 能量谱密度 (ESD)

• 服务对象：能量信号；即那些总能量有限、平均功率为零的信号，通常是瞬态的、脉冲状的信号，例如单个矩形脉冲、雷达回波脉冲等

• 核心问题：这个信号的总能量是如何分布到各个频率上去的？

• 定义与计算

  一个能量信号 s(t) 的能量谱密度 $Ψ_s(f)$，被定义为其傅里叶变换 $S(f)$ 的模的平方

  $$\Psi_s(f) = |S(f)|^2$$

  计算步骤很简单：

  1. 求信号 s(t) 的傅里叶变换 S(f)
  2. 取 S(f) 的幅度（模），然后将其平方

• 物理意义与单位: $Ψ_s(f)$ 的值代表了在频率 f 附近、单位带宽内的信号能量；它的单位是 焦耳/赫兹 (J/Hz)。

• 最重要的性质 (巴塞伐尔能量定理)

  将能量谱密度 Ψ_s(f) 在整个频率轴上积分，得到的结果就是信号 s(t) 的总能量 $E_s$；这与在时域内对信号的平方进行积分的结果完全相等。

  $$E_s = \int_{-\infty}^{\infty} |s(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |S(f)|^2 df = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi_s(f) df$$

  这个性质至关重要，它意味着我们可以通过分析信号的频谱来计算其通过一个理想带通滤波器后的能量损失——只需将 ESD 在该滤波器的通带内积分即可

• 与自相关函数的关系 (维纳-辛钦定理)

  能量信号的自相关函数 $R_s(τ)$ 和其能量谱密度 $Ψ_s(f)$ 构成一个傅里叶变换对

  $$R_s(\tau) \quad\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \Psi_s(f)$$

5.2. 功率谱密度 (PSD)

• 服务对象: 功率信号；即那些平均功率有限、但总能量无限的信号，通常是持续性的信号，例如周期信号（正弦波）、平稳随机过程（如信道噪声）等

• 核心问题： 这个信号的平均功率，是如何分布到各个频率上去的？

• 定义与计算

  对于功率信号，其傅里叶变换通常不存在（因为能量无限）

  因此，不能像 ESD 那样直接用 $|S(f)|²$ 来定义。PSD 的严格定义涉及到极限和统计平均，但最实用和最核心的计算方法是通过维纳-辛钦定理：

  功率信号的功率谱密度 $P_s(f)$，是其自相关函数 $R_s(τ)$ 的傅里叶变换

  $$P_s(f) = \mathcal{F}[R_s(\tau)] = \int_{-\infty}^{\infty} R_s(\tau)e^{-j2\pi f\tau} d\tau$$

  计算步骤：

  1. 求功率信号 s(t) 的自相关函数 $R_s(τ)$ (注意使用功率信号的定义，即求时间平均)
  2. 对 $R_s(τ)$ 做傅里叶变换

• 物理意义与单位

  $P_s(f)$ 的值代表了在频率 f 附近、单位带宽内的信号功率。它的单位是 瓦特/赫兹 (W/Hz)

  例如，我们常说的“白噪声”就是指其功率谱密度 P_s(f) 是一个常数，意味着它在所有频率上都均匀地分布着功率。

• 最重要的性质

  将功率谱密度 $P_s(f)$ 在整个频率轴上积分，得到的结果就是信号 s(t) 的总平均功率 P_s

  $$P_s = R_s(0) = \int_{-\infty}^{\infty} P_s(f) df$$

  这个性质是通信系统分析的基石

  例如，计算一个信道中的噪声功率，就是将噪声的 PSD 在信道带宽内进行积分。计算信噪比（SNR）也常常在频域内通过比较信号和噪声的 PSD 来完成。

• 与自相关函数的关系 (维纳-辛钦定理): 这正是 PSD 的定义来源

  $$R_s(\tau) \quad\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad P_s(f)$$

总结对比

特性	能量谱密度 (ESD)	功率谱密度 (PSD)
适用信号	能量信号 (瞬态、脉冲)	功率信号 (持续性、随机过程)
描述对象	能量在频域的分布	功率在频域的分布
核心定义	$Ψ_s(f) =	S(f)
单位	焦耳/赫兹 (J/Hz)	瓦特/赫兹 (W/Hz)
全频积分	等于总能量 E_s	等于总平均功率 P_s
核心应用	分析瞬态信号的频带宽度	分析噪声、干扰和通信信号的功率特性

在知识清单中，此题直接对应于：

• 确定性信号分析 -> 3. 能量信号、功率信号的自相关函数、互相关函数的关系和计算

并且与以下知识点密切相关：

• 随机信号分析 -> 3.6. 维纳-辛钦定理

2. 使用的公式

1. 自相关函数的时域定义 (能量信号)

$$R_s(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) s(t-\tau) dt$$

这个积分形式在数学上等价于卷积运算：

$$R_s(\tau) = s(\tau) * s(-\tau)$$

由于本题的 $s(t) = rect(t/T)$ 是偶函数，s(-τ) = s(τ)，因此其自相关也是它与自身的卷积：$R_s(τ) = s(\tau) * s(\tau)$

2. 维纳-辛钦定理 (频域方法)

$$R_s(\tau) = \mathcal{F}^{-1}[\Psi_s(f)] = \mathcal{F}^{-1}[|S(f)|^2]$$

其中 $S(f) = F[s(t)]$

3. 常用函数定义及傅里叶变换对

• 矩形脉冲: $rect(t/T)$ 在 $t ∈ [-T/2, T/2]$ 为 1，其余为 0
• 三角形脉冲: $tri(t/T)= 1 - |t|/T$ 在 $t ∈ [-T, T]$，其余为 0
• 傅里叶变换对
  • $rect(t/T) \quad\leftrightarrow\quad T \text{sinc}(Tf)$
  • $T \text{tri}(t/T) \quad\leftrightarrow\quad T^2 \text{sinc}^2(Tf)$

3. 解题思路和步骤

我们将使用时域的卷积法来求解，因为它在这种情况下更直观

方法1：时域图形卷积法

我们将自相关函数的计算 $R_s(τ) = ∫s(t)s(t-τ)dt$ 形象地理解为：将矩形脉冲 s(t) 固定不动，另一个矩形脉冲 s(t-τ) 从左到右滑动（τ 从负无穷变到正无穷），我们计算在每个滑动位置 τ 上，两个脉冲重叠部分的面积

Step 1: 确定信号 s(t) 和 s(t-τ) 的区间

• 固定信号 s(t) = rect(t/T) 的区间是 [-T/2, T/2]
• 滑动信号 s(t-τ) 是 s(t) 向右平移 τ 得到的，其区间是 [τ - T/2, τ + T/2]

Step 2: 分析不同 τ 值下的重叠情况

1. 当 τ ≥ T 或 τ ≤ -T (即 |τ| ≥ T): 此时滑动脉冲与固定脉冲完全错开，没有任何重叠

   • 重叠面积 = 0

2. 当 0 ≤ τ < T: 此时滑动脉冲的左边缘 τ - T/2 在固定脉冲的右边缘 T/2 的左侧，两者有部分重叠

   • 重叠区间的起始点是滑动脉冲的左边缘：$t = τ - T/2$
   • 重叠区间的结束点是固定脉冲的右边缘：$t = T/2$
   • 重叠区间的宽度是 $T/2 - (τ - T/2) = T - τ$
   • 在此区间内，两个函数的乘积为 1 × 1 = 1
   • $重叠面积 = 宽度 × 高度 = (T - τ) × 1 = T - τ$

3. 当 -T < τ < 0: 此时滑动脉冲向左移动，与固定脉冲部分重叠

   • 重叠区间的起始点是固定脉冲的左边缘：$t = -T/2$
   • 重叠区间的结束点是滑动脉冲的右边缘：$t = τ + T/2$
   • 重叠区间的宽度是 $(τ + T/2) - (-T/2) = T + τ$
   • $重叠面积 = 宽度 × 高度 = (T + τ) × 1 = T + τ$

Step 3: 整合结果

我们可以将情况 2 和 3 合并。当 τ 的绝对值 |τ| < T 时，重叠面积为 $T - |τ|$

所以，自相关函数 R_s(τ) 的表达式为：

$$R_s(\tau) = \begin{cases} T - |\tau|, & |\tau| < T \\ 0, & |\tau| \ge T \end{cases}$$

Step 4: 将结果表示为标准函数形式

这个分段函数正好是一个三角形脉冲的形状。其最大值在 τ=0 时为 T，在 $τ = ±T$ 时为 0 我们可以用 tri() 函数来表示它：

$$R_s(\tau) = T \left(1 - \frac{|\tau|}{T}\right) = T \cdot \text{tri}\left(\frac{\tau}{T}\right)$$

结论： 矩形脉冲 rect(t/T) 的自相关函数是一个幅度为 T、宽度为 2T 的三角形脉冲 T·tri(τ/T)

方法2：维纳-辛钦法

1. 由维纳-辛钦定理，自相关函数与能量谱密度函数是一对傅里叶变换
2. 先求能量谱密度函数在频域的表示：$|S(f)|^2$
3. 再反推得到自相关函数$R_{s}(\tau)$

2-11

这道题考察的是一个非常核心且深刻的概念：信号的表示不是唯一的，它取决于我们选择的参考基准

题目 2.11：设有带通信号 s(t) = a(t)cos(2πf_c t) - b(t)sin(2πf_c t)，其中 a(t), b(t) 是基带信号。求 s(t) 以 cos(2πf_c t + θ) 为参考载波的复包络。

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1. 相关知识点介绍

1. 带通信号 (Bandpass Signal):

在通信系统中，我们通常需要将包含信息的低频基带信号（如语音、数据）“搬移”到适合在信道中传输的高频段

这个过程就是调制，得到的信号就是带通信号。它的频谱集中在某个较高的中心频率 $f_c$ 附近

一个通用的带通信号 s(t) 可以表示为正交形式：

$$s(t) = x_I(t)cos(2πf_c t) - x_Q(t)sin(2πf_c t)$$

其中 $x_I(t)$ 称为同相分量 (In-phase)，$x_Q(t)$ 称为正交分量 (Quadrature)。它们都是低通（基带）信号，共同承载了原始信号的全部信息

2. 复包络 (Complex Envelope) / 等效低通表示:

直接分析或仿真高频振荡的带通信号 s(t) 是非常低效的

因此，我们引入复包络 s̃(t) 的概念。复包络是一个复数的基带信号，它完整地描述了带通信号的幅度和相位的变化，但去除了高频载波的振荡：复包络的实部是同相分量 (I)，虚部是正交分量 (Q)

$$s̃(t) = x_I(t) + jx_Q(t)$$

这种用一个低频复信号来表示一个高频实信号的方法，称为等效低通表示法。它极大地简化了通信系统的分析和设计。

3. 解析信号 (Analytic Signal):

为了从数学上严谨地得到复包络，我们需要借助解析信号 $s_+(t)或 z(t)$。对于任意实信号 s(t)，其解析信号定义为：

$$s_+(t) = s(t) + jŝ(t) = z(t)$$

其中 ŝ(t) 是 s(t) 的希尔伯特变换 (Hilbert Transform)；解析信号是一个复信号，其频谱在负频率部分为零。它与原始实信号 s(t) 包含完全相同的信息。

4. 复包络与解析信号的关系: 解析信号 $s_+(t)$ 可以看作是复包络 $s̃(t)$ 进行了频谱搬移（调制）的结果。

它们的关系是：

$$s_+(t) = s̃(t) · e^{j2πf_c t}$$

反过来，我们可以通过解调解析信号来获得复包络：

$$s̃(t) = s_+(t) · e^{-j2πf_c t}$$

而原始的实信号 s(t) 可以从复包络中恢复：

$$s(t) = Re[s̃(t) · e^{j2πf_c t}]$$

这个关系式隐含了一个默认的参考载波是 $cos(2πf_c t)$

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一个信号的解析信号是唯一的：

解析信号的唯一性，来源于希尔伯特变换的唯一性

对于一个给定的实信号 s(t)，它的希尔-伯特变换 ŝ(t) 是唯一确定的。既然解析信号 s+(t) 的定义是 s(t) + jŝ(t)，而 s(t) 是已知的，ŝ(t) 又是唯一确定的，那么 s+(t) 自然也是唯一确定的

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本题的关键在于，参考载波不再是 $cos(2πf_c t)$，而是 $cos(2πf_c t + θ)$。这意味着复包络的定义也随之改变

新的复包络（我们记为 $s̃_θ(t)$）与 $s(t)$ 的关系变为：

$$s(t) = Re[s̃_θ(t) · e^{j(2πf_c t + θ)}]$$

我们的任务就是根据这个新的关系来求解 $s̃_θ(t)$

在知识清单中，这些知识点对应于：

• 确定性信号分析 -> 5. 希尔伯特变换与解析信号
• 确定性信号分析 -> 5.1. 解析信号特性
• 确定性信号分析 -> 5.2. 复包络、复载波
• 确定性信号分析 -> 6. 带通信号、带通滤波器的等效基带表示

2. 使用的公式

1. 带通信号通用表示:

   $$s(t) = a(t)cos(2πf_c t) - b(t)sin(2πf_c t)$$

2. 欧拉公式:

   $$e^{jφ} = cos(φ) + jsin(φ)\\cos(φ) = \frac{e^{jφ} + e^{-jφ}}{2}\\sin(φ) = \frac{e^{jφ} - e^{-jφ}}{2j}$$

3. 解析信号与复包络的关系 (标准参考载波$cos(2\pi f_ct)$):

   $$s_+(t) = s(t) + jŝ(t) = (\ a(t) + jb(t)\ ) · e^{j2πf_c t}$$

4. 实信号与复包络的关系 (相位偏移参考载波):

   $$s(t) = Re[\ s̃_θ(t) · e^{j(2πf_c t + θ)}\ ]$$

5. 三角恒等式 (用于验证):

   $$cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB\\sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB$$

3. 解题思路和步骤

我们将使用一种最直接和根本的方法：从解析信号出发，因为一个信号的解析信号是唯一的，不随我们选择的参考载波而改变

• 解析信号 $s_+(t)$ 是信号 $s(t)$ 的一个内在的、客观的数学属性，就像它的能量、功率、傅里叶变换一样。它不依赖于我们如何去观察或描述它。
• 复包络 $s̃(t)$ 和参考载波 $e^{jω_c t}$ 是为了方便分析而引入的一套“表示方法”或“坐标系”

这道题的本质是：我们有一个客观存在的实体（唯一的解析信号 s+(t)），现在我们从两个不同的“观察角度”（即用两个不同的参考载波）去描述它

• 观察角度1（标准参考载波）：$s_+(t) = [a(t) + jb(t)] · e^{jω_c t}$
• 观察角度2（带相偏的参考载波）：$s_+(t) = s̃_θ(t) · e^{j(ω_c t + θ)}$

步骤一：求 s(t) 的解析信号 $s_+(t)$

对于一个形如 $s(t) = a(t)cos(ω_c t) - b(t)sin(ω_c t)$ 的带通信号（其中 a(t) 和 b(t) 是带宽远小于 $f_c$ 的基带信号），其希尔伯特变换 ŝ(t) 有一个非常简洁的结果：

$$ŝ(t) ≈ a(t)sin(ω_c t) + b(t)cos(ω_c t)$$

(这是因为对 cos 的希尔伯特变换是 sin，对 sin 的是 -cos，且基带信号可视为常数提出)

因此，解析信号 $s_+(t) = s(t) + jŝ(t)$ 为：

$$s_+(t) = [a(t)cos(ω_c t) - b(t)sin(ω_c t)] + j[a(t)sin(ω_c t) + b(t)cos(ω_c t)]$$

其中 $ω_c = 2πf_c$

重新组合上式，把 a(t) 和 b(t) 作为系数：

$$s_+(t) = a(t)[cos(ω_c t) + jsin(ω_c t)] + b(t)[-sin(ω_c t) + jcos(ω_c t)]$$

注意到 j² = -1，所以

$$jcos(ω_c t) - sin(ω_c t) = j(cos(ω_c t) + \frac{1}{j}sin(ω_c t)) = j(cos(ω_c t) - jsin(ω_c t))$$

那么得到：

$$s_+(t) = a(t)[cos(ω_c t) + jsin(ω_c t)] + b(t)[-sin(ω_c t) + jcos(ω_c t)]\\\\s_+(t) = a(t)e^{jω_c t} + b(t)[j^2sin(ω_c t) + jcos(ω_c t)]\\\\s_+(t) = a(t)e^{jω_c t} + jb(t)[j sin(ω_c t) + cos(ω_c t)]\\\\s_+(t) = a(t)e^{jω_c t} + jb(t)e^{jω_c t}\\s_+(t) = (\ a(t) + jb(t)\ )e^{jω_c t}$$

这个结果是正确的，它表明以 $cos(ω_c t)$ 为参考载波的标准复包络就是 $s̃(t) = a(t) + jb(t)$

步骤二：建立新旧复包络的关系

解析信号 $s_+(t)$ 是唯一的

它既可以由标准复包络 $s̃(t)$ 生成，也可以由我们要求的、以带相位偏移的载波为参考的新复包络 $s̃_θ(t)$ 生成

1. $$s_+(t) = s̃(t) · e^{jω_c t} = (a(t) + jb(t))e^{jω_c t}$$
2. $$s_+(t) = s̃_θ(t) · e^{j(ω_c t + θ)}$$

步骤三：求解新的复包络 $s̃_θ(t)$

既然两种表示方法都指向同一个解析信号，那么它们必然相等

$$s̃_θ(t) · e^{j(ω_c t + θ)} = (a(t) + jb(t))e^{jω_c t}$$

现在，我们从中解出 $s̃_θ(t)$：

$$s̃_θ(t) = (a(t) + jb(t)) · \frac{e^{jω_c t}}{e^{j(ω_c t + θ)}}\\ s̃_θ(t) = (a(t) + jb(t)) · e^(jω_c t - j(ω_c t + θ))\\\\ s̃_θ(t) = (a(t) + jb(t)) · e^{-jθ}$$

这就是最终的答案

结果分析与验证

这个结果非常直观：当我们将参考载波的相位超前 θ 时，为了保持原始的实信号 s(t) 不变，等效的复包络的相位就必须滞后 θ

我们可以将结果展开：

$$s̃_θ(t) = (a(t) + jb(t))(cos(θ) - jsin(θ))\\ s̃_θ(t) = [a(t)cos(θ) + b(t)sin(θ)] + j[b(t)cos(θ) - a(t)sin(θ)]$$

所以，新的同相分量是 $a(t)cos(θ) + b(t)sin(θ)$，新的正交分量是 $b(t)cos(θ) - a(t)sin(θ)$

结论 信号 s(t) 以 $cos(2πf_c t + θ)$ 为参考载波的复包络为 $(a(t) + jb(t))e^{-jθ}$

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补充知识

这三个概念——希尔伯特变换、解析信号、复包络——是通信原理中从实信号分析走向复信号分析的关键桥梁，是理解现代调制解调技术（如QAM）的基础

一、希尔伯特变换

1. 定义

希尔伯特变换将一个实信号 $s(t)$ 变换为另一个实信号 ŝ(t)（读作 “s-hat of t”）

它有两种等价的定义：

• 时域定义（卷积）： ŝ(t) 是 s(t) 与 h(t) = 1/(πt) 的卷积。

  $$\hat{s}(t) = s(t) * \frac{1}{\pi t} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{s(\tau)}{ \pi(t-\tau) } d\tau$$

• 频域定义（滤波）：

  希尔伯特变换在频域上相当于一个特殊的滤波器，其传递函数为 $H(f) = -j * sgn(f)$

  $$H(f) = \begin{cases} -j, & f > 0 \\ 0, & f = 0 \\ j, & f < 0 \end{cases}$$

  这意味着，$ŝ(t)$ 的傅里叶变换 $\hat{S}(f)$ 与 $s(t)$ 的傅里叶变换 $S(f)$ 的关系是：

  $$\hat{S}(f) = H(f)S(f) = -j \cdot \text{sgn}(f) \cdot S(f)$$

2. 作用与物理意义：理想的 90° 移相器

希尔伯特变换最核心的物理意义是它是一个理想的宽带 90° 移相器

从频域定义 H(f) 来看：

• 幅度特性： $|H(f)| = 1$ (对于 f ≠ 0)；这意味着它不改变信号中任何频率分量的幅度。
• 相位特性：
  • 当 f > 0 时，H(f) = -j = e^(-jπ/2)。它将所有正频率分量的相位延迟 90°（或 -π/2）
  • 当 f < 0 时，H(f) = j = e^(+jπ/2)。它将所有负频率分量的相位超前 90°（或 +π/2）

核心作用

希尔伯特变换的主要作用是为了构造一个与原信号 s(t) 正交 (Orthogonal) 的信号 ŝ(t)

对于能量信号，这意味着它们的内积（互相关为0）为零：

$$\int_{-\infty}^{\infty} s(t)\hat{s}(t) dt = 0$$

这个正交性是构建解析信号和复包络的基础

二、解析信号

1. 定义

对于任意实信号 s(t)，其对应的解析信号 $s_+(t)$ 是一个复信号，定义为：

$$s_+(t) = s(t) + j\hat{s}(t)$$

它由原始实信号作为实部，希尔伯特变换后的信号作为虚部构成

2. 作用与特性

解析信号是一个功能强大的数学工具，其最重要的特性是它的频谱是单边谱

• 频谱特性： 解析信号 $s+(t)$ 的傅里叶变换 $S_+(f)$ 为：

  $$S_+(f) = \begin{cases} 2S(f), & f > 0 \\ S(0), & f = 0 \\ 0, & f < 0 \end{cases}$$

  推导：

  $$S_+(f) = F[s(t) + jŝ(t)] \\= S(f) + jŜ(f) = S(f) + j[H(f)S(f)] \\= S(f)[1+jH(f)]$$

  当 $f>0$ 时，$1+j(-j)=2$；当$f<0$时，$1+j(j)=0$

• 核心作用

  1. 消除频谱负半轴： 通过构造解析信号，我们去掉了频谱中的负频率部分；负频率在数学上是必要的（因为实信号的频谱是共轭对称的），但在物理上是冗余的。去掉它并不会损失任何信息。

  2. 明确定义瞬时参数： 对于一个普通实信号 $Acos(ωt+φ)$，我们无法唯一地定义其“瞬时包络”和“瞬时相位”。但对于解析信号，我们可以无歧义地定义瞬时包络 A(t) 和瞬时相位 φ(t)：

     • $$s_+(t) = A(t)e^{jφ(t)}$$

     • 瞬时包络:

       $$A(t) = |s+(t)| = \sqrt{s^2(t) + \hat{s}^2(t)}$$

• 瞬时相位: $φ(t) = arg[s+(t)]$

3. 通往复包络的桥梁： 解析信号是计算复包络的中间步骤

三、复包络/ 等效低通信号

1. 定义

对于一个中心频率为 $f_c$ 的实带通信号 s(t)，其复包络 s̃(t) (读作 “s-tilde of t”) 是一个复数的基带（低通）信号。它通过将解析信号的频谱从 f_c 附近搬移到零频附近得到；有两个求解公式

• 求解公式（分析）

  $$\tilde{s}(t) = s_+(t) \cdot e^{-j2\pi f_c t}$$

  这个过程在频域上看，就是将 S+(f) 向右平移 f_c，从而将频谱的中心从 f_c 移到 0

• 关系公式（合成）：

  原始的实带通信号 s(t) 可以由复包络重建：

  $$s(t) = \text{Re}[\tilde{s}(t) \cdot e^{j2\pi f_c t}]$$

  如果将复包络写作直角坐标形式 $s̃(t) = s_I(t) + j s_Q(t)$，那么：

  $$s(t) = Re[\ (\ s_I(t) + j s_Q(t)\ ) (\ cos(2πf_c t) + jsin(2πf_c t)\ )]\\ s(t) = s_I(t)cos(2πf_c t) - s_Q(t)sin(2πf_c t)$$

  这里的 $s_I(t)$ 就是同相分量，$s_Q(t)$ 就是正交分量

  一般复包络的参考载波是$cos(2 \pi f_c t)$

2. 作用与意义

复包络是通信系统分析和仿真中最实用的概念之一

1. 简化分析与仿真：

   带通信号 s(t) 包含高频载波，变化非常快。而复包络 s̃(t) 是一个基带信号，变化缓慢。在计算机仿真中，处理 s̃(t) 所需的采样率远低于处理 s(t)，极大地节省了计算资源。我们可以对基带的复包络进行各种处理（如滤波、放大），最后再把它“搬”回高频，得到最终的带通信号

2. 承载全部信息： 复包络 s̃(t) 包含了原始基带信号的全部信息

   • 它的幅度 $|s̃(t)|$ 对应了带通信号的幅度调制信息 (AM)
   • 它的相位 $arg[s̃(t)]$ 对应了带通信号的相位调制信息 (PM/FM)

3. 现代数字调制的数学模型： 像 QPSK、16QAM 这类现代数字调制技术，其本质就是直接构建复包络 s̃(t)。星座图上的每一个点，都代表了一个复包络 s̃(t) 的一个可能的复数值

四、常用希尔伯特变换对

以下是一些在分析中最常用的希尔伯特变换对：

信号 s(t)	希尔伯特变换 ŝ(t)	备注
cos(2πf₀t)	sin(2πf₀t)	cos 信号的所有分量相移 -90° 得到 sin
sin(2πf₀t)	-cos(2πf₀t)	sin 信号的所有分量相移 -90° 得到 -cos
A (常数)	0	直流分量 (f=0) 被滤掉
δ(t) (冲击函数)	1/(πt)	系统的冲激响应
$m(t)cos(2πf_c t)$	$m(t)sin(2πf_c t)$	$m(t)$是带宽远小于$f_c$的基带信号
$m(t)sin(2πf_c t)$	$-m(t)cos(2πf_c t)$	同上

五、三者关系和目的

核心思想： 我们的最终目标是用一个缓慢变化的低频复信号（复包络）来等效地表示一个快速振荡的高频实信号（带通信号），从而极大地简化通信系统的分析和仿真。希尔伯特变换和解析信号是实现这个目标所必须经过的中间步骤和数学工具

它们的关系：一个三步走的流程

可以把从一个实带通信号 s(t) 得到其复包络 s̃(t) 的过程看作是三步：

起点：一个实带通信号 s(t)

• 特点： 真实世界中的信号，高频振荡，频谱关于零频共轭对称（即有正、负两个频段）
• 问题： 包含 冗余 的负频率信息，难以直接分析其幅度和相位的变化

第一步：使用希尔伯特变换创建正交分量

• 作用/角色： 正交信号生成器

• 它做了什么： 希尔伯特变换接收实信号 s(t)，并输出另一个实信号 ŝ(t)。这个 ŝ(t) 在所有频率上都比 s(t) 延迟了 90°

• 为什么需要它：

  一个实信号 s(t) 本质上是一维的

  为了能完整地描述幅度和相位，我们需要一个二维（复平面）的表示。希尔伯特变换为我们创造了与 s(t)（可以看作是 X 轴）完全正交的另一个维度 ŝ(t)（可以看作是 Y 轴）。没有 $ŝ(t)$，我们就无法构建复平面上的向量。

第二步：组合成解析信号以消除冗余

• 作用/角色： 信息完备的单边谱信号
• 它做了什么： 将原始信号 s(t)作为实部，将其正交版本 ŝ(t) 作为虚部，组合成一个复信号 $s_+(t) = s(t) + jŝ(t)$
• 为什么需要它
  1. 消除负频率： 解析信号 s+(t) 的频谱只存在于正半轴，完全消除了冗余的负频率信息，但没有丢失任何原始信息
  2. 数学上的完备性： 它将幅度和相位信息“打包”进了一个单一的复数表达式中 $A(t)e^{jφ(t)}$，使得瞬时幅度和瞬时相位有了明确的数学定义
• 局限性： 解析信号 $s_+(t)$ 仍然是一个高频信号，它依然以 $e^(j2πf_c t)$ 的速度在复平面上快速旋转

第三步：解调得到复包络以简化分析

• 作用/角色： 最终的等效低通表示

• 它做了什么： 将解析信号 $s_+(t)$ 乘以一个反向旋转的复载波 $e^{-j2πf_c t}$，从而“抵消”掉它的高频旋转。这个过程在数学上就是解调或频谱搬移

  $$s̃(t) = s_+(t) * e^{-j2πf_c t}$$

• 为什么需要它：

  1. 降维打击： 这是我们的最终目标。s̃(t) 是一个**低频（基带）**信号，它的变化速度与原始消息信号一样缓慢，非常便于分析和计算机仿真
  2. 信息载体： 这个低频的复包络 s̃(t) 包含了原始高频信号 s(t) 的全部调制信息。它的幅度 $|s̃(t)|$ 就是幅度变化，它的相位 arg[s̃(t)] 就是相位变化

总结与类比

概念	信号类型	频段	核心作用
希尔伯特变换	变换/算子	-	工具：为实信号 s(t) 创建一个正交的搭档 ŝ(t)
解析信号	复信号	带通 (高频)	中间产品：消除负频率，将信息打包成复数形式
复包络	复信号	基带 (低频)	最终产品：用于分析和仿真的等效低通信

一个生动的类比：

想象一下你在观察一个旋转木马

1. 实信号 s(t)： 你站在木马的正南方，只能看到一匹马在你面前左右来回移动（东西方向的投影）；你只得到了部分信息。

2. 希尔伯特变换 ŝ(t) ：你派一个朋友站在木马的正西方，他只能看到这匹马前后移动（南北方向的投影）；这是与你观察正交的信息。

3. 解析信号 s+(t)：

   你们俩用对讲机实时沟通，将你们各自观察到的位置（东西 s(t) 和南北 ŝ(t)）组合起来，就能在脑海中构建出这匹马在二维平面上做圆周运动的完整轨迹。这个轨迹就是解析信号；但是，这个轨迹本身仍然是高速旋转的

4. 复包络 s̃(t)：

   现在，你跳上旋转木马的中心，和木马一起旋转

   从你的视角看，那匹马几乎是静止的（或者只是相对于你缓慢地前后移动，如果它在木马上还有自己的小幅运动）；你看到的这个相对静止的向量，就是复包络；它去除了整体的旋转，只留下了真正的信息（马相对于木马自身的变化）。

这个从地面观察到跳上木马观察的过程，完美地诠释了从 s(t) 到 s̃(t) 的变换，以及每个工具在其中扮演的角色

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2-12

这道题深入探讨了希尔伯特变换与复包络之间的内在联系，是理解带通信号处理的关键

题目 2.12：设有窄带信号 x(t) = m(t)cos(2πf_c t + φ)，其中 φ 是定值，m(t) 是实基带信号，其带宽远小于 f_c。求 x(t) 的复包络 x_L(t)、希尔伯特变换 x̂(t) 以及 x̂(t) 的复包络

1. 相关知识点介绍

这道题完美地展示了复包络和希尔伯特变换这两个工具是如何协同工作的，它们是分析带通系统的两大支柱

1. 复包络: 如前所述，复包络 $x_L(t)$ 是一个等效的复数低通信号，它携带了原始实带通信号 $x(t)$ 的全部信息（幅度和相位），但去除了高频载波 $e^{j2πf_c t}$。x(t) 和 $x_L(t)$ 的关系是：

$$x(t) = Re[x_L(t) · e^{j2πf_c t}]$$

求解复包络，本质上就是把信号表示为 $x(t) = x_I(t)cos(2πf_c t) - x_Q(t)sin(2πf_c t)$ 的形式，然后得到 $x_L(t) = x_I(t) + jx_Q(t)$

2. 希尔伯特变换 希尔伯特变换是一个特殊的线性系统，其核心作用是产生正交信号。在频域上，它相当于一个移相器：

• 将所有正频率分量的相位滞后 90° (乘以 -j)
• 将所有负频率分量的相位超前 90° (乘以 +j。 在时域上，对于一个窄带信号，这个操作近似于将载波 $cos(ω_c t)$变换为 sin(ω_c t)。这就是为什么 x̂(t) 常被称为 x(t) 的正交信号

3. 解析信号 解析信号 $x_L(t)$ 是连接 x(t) 和 $x̂(t)$ 桥梁，$x_L(t) = x(t) + jx̂(t)$。同时，它也是连接 x(t) 和 $x_L(t)$ 的桥梁，$x_L(t) = x_L(t) · e^{j2πf_c t}$这个双重关系是解题的枢纽

本题的核心思想是：

• 通过三角函数展开，将 x(t) 分解为同相和正交分量，从而求得其复包络 $x_L(t)$

  复包络的系数就是原信号同相分量 $x_C(t)$ 和正交分量 $x_S(t)$ ：

  $$\tilde{x}(t) = x_C(t) +j · x_S(t)$$

  而 $x(t)$ 可展开为：$x_I(t)cos(2πf_c t) - x_Q(t)sin(2πf_c t)$ 这种形式，复包络的核心思想就是丢弃掉高频成分$cos(2πf_c t)$，方便分析低频部分

• 利用解析信号与复包络的关系，轻松求出解析信号 $x_+(t)$

• 解析信号的虚部就是希尔伯特变换 $x̂(t)$

• 对得到的 x̂(t) 重复第一步的方法，求出它的复包络

• 最后，比较 x(t) 和 x̂(t) 的复包络，会发现一个非常简洁和深刻的关系

在您的知识清单中，这完全对应于：

• 确定性信号分析 -> 5. 希尔伯特变换与解析信号
• 确定性信号分析 -> 5.2. 复包络、复载波
• 确定性信号分析 -> 6. 带通信号、带通滤波器的等效基带表示

2. 使用的公式

1. 三角恒等式:

   $$cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)\\sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)$$

2. 复包络定义:

   若 $x(t) = x_I(t)cos(ω_c t) - x_Q(t)sin(ω_c t)$，则 $x_L(t) = x_I(t) + jx_Q(t)$

3. 解析信号、实信号、希尔伯特变换的关系:

   $$x_+(t) = x(t) + jx̂(t) \\=> x̂(t) = Im[x_+(t)]\ ,\ x(t) = Re[x_+(t)]$$

4. 解析信号与复包络的关系:

   $$x_+(t) = x_L(t)e^{jω_c t}$$

5. 欧拉公式:

   $$e^{jφ} = cos(φ) + jsin(φ)$$

3. 解题思路和步骤

我们分三步来完成

步骤一：求 x(t) 的复包络 $x_L(t)$

1. 展开 x(t): 使用三角恒等式 cos(A+B) 展开 x(t)，令 $A = 2πf_c t\ ,\ B = φ$

   $$x(t) = m(t)\ ·[cos(2πf_c t)cos(φ) - sin(2πf_c t)sin(φ)]$$

2. 整理成 I/Q 形式: 将 m(t) 乘进去，并与标准形式 $x_I(t)cos(2πf_c t) - x_Q(t)sin(2πf_c t)$ 对比：

   $$x(t) = [m(t)cos(φ)]cos(2πf_c t) - [m(t)sin(φ)]sin(2πf_c t)$$

3. 识别同相和正交分量:

   • 同相分量: $x_I(t) = m(t)cos(φ)$
   • 正交分量: $x_Q(t) = m(t)sin(φ)$

4. 构建复包络:

   $$x_L(t) = x_I(t) + jx_Q(t) = m(t)cos(φ) + j·m(t)sin(φ)$$

   使用欧拉公式，可以写成更紧凑的形式：

   $$x_L(t) = m(t)(cos(φ) + j·sin(φ)) = m(t)e^{jφ}$$

步骤二：求 x(t) 的希尔伯特变换 x̂(t)

1. 构建解析信号 $x_+(t)$ 我们已经求出了复包络 $x_L(t)$，利用公式 $x_+(t) = x_L(t)e^{jω_c t}$：

   $$x_+(t) = [m(t)e^{jφ}] · e^{j2πf_c t} = m(t)e^{j(2πf_c t + φ)}$$

2. 展开解析信号

   使用欧拉公式将 $x_+(t)$ 展开为实部和虚部：

   $$x_+(t) = m(t)[cos(2πf_c t + φ) + jsin(2πf_c t + φ)]$$

3. 提取虚部

   根据定义 $x+(t) = x(t) + jx̂(t)$，我们知道 x̂(t) 就是 $x_+(t)$ 的虚部

   $$x̂(t) = Im[x_+(t)] = m(t)sin(2πf_c t + φ)$$

   这个结果非常符合直觉：对于窄带信号，希尔伯特变换就是将 cos 载波变成 sin 载波，相当于将载波相位移动 90°

步骤三：求 x̂(t) 的复包络

1. 令新信号 $y(t) = x̂(t)$

   $$y(t) = m(t)sin(2πf_c t + φ)$$

2. 展开 y(t)

   使用三角恒等式 sin(A+B) 展开 y(t):

   $$y(t) = m(t)[sin(2πf_c t)cos(φ) + cos(2πf_c t)sin(φ)]$$

3. 整理成 I/Q 形式:

   为了与标准形式

   $$y_I(t)cos(ω_c t) - y_Q(t)sin(ω_c t)$$

   对比，需要调整项的顺序和符号：

   $$y(t) = [m(t)sin(φ)]cos(2πf_c t) - [-m(t)cos(φ)]sin(2πf_c t)$$

4. 识别同相和正交分量:

   • 同相分量: $y_I(t) = m(t)sin(φ)$
   • 正交分量: $y_Q(t) = -m(t)cos(φ)$

5. 构建复包络

   $$y_L(t) = y_I(t) + jy_Q(t) = m(t)sin(φ) + j(-m(t)cos(φ))\\ y_L(t) = m(t)sin(φ) - j·m(t)cos(φ)$$

6. 化简复包络:

   这个形式可以进一步化简。我们提出一个 -j：

   $$y_L(t) = -j·[j·m(t)sin(φ) + m(t)cos(φ)] \text{（因为 -j * j = 1）}\\ y_L(t) = -j·[m(t)cos(φ) + jm(t)sin(φ)]$$

   括号里的部分正好是 $x(t)$ 的复包络 $x_L(t)$ 所以，x̂(t) 的复包络是 $-j · x_L(t) = -j m(t)e^{jφ}$

总结与关键结论

• x(t) 的复包络: $x_L(t) = m(t)e^{jφ}$
• x(t) 的希尔伯特变换: $x̂(t) = m(t)sin(2πf_c t + φ)$
• x̂(t) 的复包络: $-j · m(t)e^{jφ}$

本题最重要的启示/结论---适用所有复包络里求希尔伯特变换的情景

对一个带通信号进行希尔伯特变换，在时域上看是将其载波移相 90° (cos -> sin)，在等效低通域 (复包络域) 上看，则等价于将其复包络乘以 -j

例如题目 2-13：

1. 时域上

   $$x(t) = I(t)cos(2\pi f_ct) - Q(t)sin(2\pi f_ct)\\ \hat{x}(t) = I(t)sin(2\pi f_ct) + Q(t)cos(2\pi f_ct)$$
   • cos 变 sin
   • sin 变 cos

2. 复包络域上

   $$x_L(t) = (I + jQ)e^{j\phi}\\ \hat{x}_L(t) = -j·(I + jQ)e^{j\phi}$$

这个简洁的结论是分析通信系统中正交调制、单边带调制等技术的理论基础

提问

Q1：为什么将$x(t)$展开就能得到它的复包络

因为“展开”这个动作，其目的就是为了把信号 $x(t)$ 变成一个“标准格式”，一旦信号是标准格式，就能一眼“读出”它的复包络的组成部分

• 目标： 描述一个带通信号 s(t)

• 标准格式： 我们建立一个“信号坐标系”，它的两个 “单位矢量” 是相互正交的 $cos(ω_c t)$ 和 $-sin(ω_c t)$。任何中心频率在 $f_c$ 的带通信号 $s(t)$ 都可以被唯一地表示为：

  $$s(t) = s_I(t) \cdot \cos(\omega_c t) - s_Q(t) \cdot \sin(\omega_c t)$$

  这个就是带通信号的正交表示法，是 “标准格式”

• 描述工具： 这里的“坐标”就是同相分量 $s_I(t)或s_C(t)$ 和正交分量 $s_Q(t)或s_S(t)$。我们把这两个“坐标”打包成一个复数，就得到了复包络：

  $$\tilde{s}(t) = s_I(t) + j \cdot s_Q(t)$$

“展开”的意义 就是通过三角恒等变换，把一个任意形式的带通信号，强制转换成上面那个标准格式。

以题目 2.12 为例

1. 原始信号： $x(t) = m(t)cos(ω_c t + φ)$ 这个形式很简洁，但它不是 “标准格式” ；我们看不出它的同相分量 $x_I(t)$ 和正交分量 $x_Q(t)$ 是什么

2. “展开”操作（强制转换为标准格式）

   $$x(t) = m(t)[cos(ω_c t)cos(φ) - sin(ω_c t)sin(φ)]\\ x(t) = [m(t)cos(φ)] \cdot \cos(\omega_c t) - [m(t)sin(φ)] \cdot \sin(\omega_c t)$$

3. “读出”坐标

   现在，这个表达式的格式与 $s_I(t)cos(ω_c t) - s_Q(t)sin(ω_c t)$ 完全匹配；通过对比，我们立刻就能 “读出”它的 “坐标”：

   • 同相分量 $x_I(t) = m(t)cos(φ)$
   • 正交分量 $x_Q(t) = m(t)sin(φ)$

4. 构建复包络

   根据定义，我们将“坐标”打包成复数：

   $$x_L(t) = x_I(t) + jx_Q(t) = m(t)cos(φ) + jm(t)sin(φ) = m(t)e^{jφ}$$

再看题目 2.11：

给出的信号是 $s(t) = a(t)cos(ω_c t) - b(t)sin(ω_c t)$ 这个信号天生就已经是标准格式；我们根本不需要做任何 “展开” 操作，就可以直接“读出”它的坐标：

• 同相分量 $s_I(t) = a(t)$

• 正交分量 $s_Q(t) = b(t)$

  因此，它的（标准）复包络就是 $s̃(t) = a(t) + jb(t)$

求复包络的过程，本质上就是模式匹配。我们有一个目标“标准格式”，然后通过数学变换（通常是三角函数展开）将给定的信号变成这个格式，最后从格式中提取出我们需要的 s_I(t) 和 s_Q(t)，将它们组合成 $s_I(t) + j s_Q(t)$

2-13

这道题是前面几道题的集大成者，它将一般形式的 I/Q 信号、希尔伯特变换以及参考载波选择这几个核心概念结合在了一起，是理解带通信号表示法的关键一环

题目 2.13：设有窄带信号 $x(t) = I(t)cos(2πf_c t + φ) - Q(t)sin(2πf_c t + φ)$，其中 I(t)、Q(t) 是实基带信号且其带宽远小于 f_c。求 x(t) 的希尔伯特变换 x̂(t) 并分别以 cos(2πf_c t + φ) 和 cos(2πf_c t) 为参考载波求 x(t)、x̂(t) 的复包络

1. 相关知识点介绍

1. 信号表示的相对性与绝对性：

这是本题最核心的思辨点

• 相对性 (复包络)： 一个带通信号的复包络不是唯一的，它的具体形式取决于我们选择的参考载波。改变参考载波的初始相位（如此题中的 φ），复包络的表达式也会随之改变。这就像描述一个物体的速度，结果取决于你选择的参考系
• 绝对性 (解析信号)： 与之相对，一个信号的解析信号 $x_+(t)$ 是唯一且确定的。它不依赖于任何参考选择，是信号本身的内在属性。因此，解析信号是我们在不同参考系之间进行转换的 “不变的锚点”

2. 希尔伯特变换的通用性：

对于任意形如 $x(t) = I(t)cos(ω_c t + φ) - Q(t)sin(ω_c t + φ)$ 的窄带信号，其希尔伯特变换 $x̂(t)$ 的一个重要性质是：cos 项变为 sin 项，sin 项变为 -cos 项。这相当于将两个正交载波分量都移相 90 度

3. 复包络域中的希尔伯特变换：

在前一题我们得出了一个重要结论：对信号进行希尔伯特变换，等价于将其复包络乘以 $-j$

本题将验证这个结论在更一般的情况下依然成立，并且与参考载波的选择无关。只要 x(t) 和 x̂(t) 的复包络是基于同一个参考载波计算的，这个 -j 的关系就必然成立

在知识清单中，这些知识点依然围绕：

• 确定性信号分析 -> 5. 希尔伯特变换与解析信号
• 确定性信号分析 -> 5.1. 解析信号特性
• 确定性信号分析 -> 5.2. 复包络、复载波
• 确定性信号分析 -> 6. 带通信号、带通滤波器的等效基带表示

2. 使用的公式

1. 窄带信号的希尔伯特变换性质

   $$H[m(t)cos(ω_c t + φ)] ≈ m(t)sin(ω_c t + φ)\\ H[m(t)sin(ω_c t + φ)] ≈ -m(t)cos(ω_c t + φ)$$

2. 解析信号的定义与关系

   $$x+(t) = x(t) + jx̂(t)\\ x+(t) = x_L(t) · e^{jω_{r(t)}} \text{ （其中 $ω_{r(t)}$ 是参考载波的相位）}\\ x_L(t) = x+(t) · e^{-jω_{r(t)}} \text{ （从解析信号求解任意参考下的复包络）}$$

3. 三角恒等式与欧拉公式

3. 解题思路和步骤

我们将先求出不依赖于参考的 x̂(t) 和 $x_+(t)$，然后利用它们作为“万能钥匙”去求解不同参考载波下的复包络

步骤一：求 x(t) 的希尔伯特变换 x̂(t)

我们对 x(t) 的两个组成部分分别进行希尔伯特变换：

$$x̂(t) = H[I(t)cos(2πf_c t + φ)] - H[Q(t)sin(2πf_c t + φ)]$$

应用变换性质：cos 变 sin，sin变-cos

$$x̂(t) ≈ I(t)sin(2πf_c t + φ) - [-Q(t)cos(2πf_c t + φ)]\\ x̂(t) = I(t)sin(2πf_c t + φ) + Q(t)cos(2πf_c t + φ)$$

这是本题的第一个答案

步骤二：以 $cos(2πf_c t + φ)$ 为参考载波

这是信号的“自然”参考载波。

令 $θ(t) = 2πf_c t + φ$

1. 求 x(t) 的复包络 $x_{L1}(t)$

   $$x(t) = I(t)cos(θ(t)) - Q(t)sin(θ(t))$$

   这已经完美匹配了 $x_I cos - x_Q sin$ 的标准形式

   因此，同相分量 $x_I = I(t)$，正交分量 $x_Q = Q(t)$

   复包络为：$x_{L1}(t) = I(t) + jQ(t)$

2. 求 x̂(t) 的复包络 $x̂_{L1}(t)$

   需要将 x̂(t) 也整理成以 cos(θ(t)) 和 sin(θ(t)) 为基的形式

   $$x̂(t) = Q(t)cos(θ(t)) + I(t)sin(θ(t))$$

   为了得到 -sin 项，我们将 $+I(t)sin(θ(t))$ 改写为 $-[-I(t)]sin(θ(t))$

   $$x̂(t) = [Q(t)]cos(θ(t)) - [-I(t)]sin(θ(t))$$

   对比标准形式，同相分量为 Q(t)，正交分量为 -I(t)

   复包络为：$x̂_{L1}(t) = Q(t) + j(-I(t)) = Q(t) - jI(t)$

   验证:

   $$x̂_{L1}(t) = -j(I(t) + jQ(t)) = -j · x_{L1}(t)$$

   结论成立！

步骤三：以 $cos(2πf_c t)$ 为参考载波

这个参考载波与信号的实际载波存在相位差 φ；直接分解会很繁琐，使用解析信号作为桥梁是最佳策略。

1. 求唯一的解析信号 x+(t):

   $x_+(t) = x(t) + jx̂(t)$

   $$x_+(t) = [I(t)cos(θ(t)) - Q(t)sin(θ(t))] + j[I(t)sin(θ(t)) + Q(t)cos(θ(t))]$$

   按 I(t) 和 Q(t) 重新组合：

   $$x_+(t) = I(t)[cos(θ(t)) + jsin(θ(t))] + Q(t)[-sin(θ(t)) + jcos(θ(t))]$$

   注意到 $j² = -1$，所以

   $$jcos(θ(t)) - sin(θ(t)) = j·[cos(θ(t)) - \frac{1}{j}sin(θ(t))] = j[cos(θ(t)) + jsin(θ(t))]\\ x_+(t) = I(t)e^{jθ(t)} + Q(t)[j e^{jθ(t)}]\\ x_+(t) = (I(t) + jQ(t))e^{jθ(t)} = (I(t) + jQ(t))e^{j(2πf_c t + φ)}$$

   这个结果非常重要，它把信号的基带信息 $(I(t) + jQ(t))$ 和载波信息 e^(j(2πf_c t + φ)) 完美地分开了。

2. 求 x(t) 的复包络 $x_{L2}(t)$

   新的参考载波是 cos(2πf_c t)，其复数表示为 e^(j2πf_c t)

   根据公式 $x_L(t) = x_+(t) · e^{-jω_ref(t)}$：

   $$x_L2(t) = [(I(t) + jQ(t))e^{j(2πf_c t + φ)}] · e^{-j2πf_c t} \\x_L2(t) = (I(t) + jQ(t))e^{jφ}$$

3. 求 x̂(t) 的复包络 x̂_L2(t):

   我们继续利用 -j 关系

   因为 x(t) 和 x̂(t) 的复包络都是基于同一个参考 cos(2πf_c t) 求解的，所以这个关系必然成立。

   $$x̂_{L2}(t) = -j · x_{L2}(t)\\ x̂_{L2}(t) = -j(I(t) + jQ(t))e^{jφ}$$

总结

• 希尔伯特变换:

  $$x̂(t) = I(t)sin(2πf_c t + φ) + Q(t)cos(2πf_c t + φ)$$

• 以 cos(2πf_c t + φ) 为参考:

  • x(t) 的复包络: x_L1(t) = I(t) + jQ(t)
  • x̂(t) 的复包络: x̂_L1(t) = Q(t) - jI(t) = -j · x_L1(t)

• 以 cos(2πf_c t) 为参考:

  • x(t) 的复包络: x_L2(t) = (I(t) + jQ(t))e^(jφ)
  • x̂(t) 的复包络: x̂_L2(t) = -j(I(t) + jQ(t))e^(jφ) = -j · x_L2(t)

本题核心启示

1. 复包络的表达式会吸收参考载波与信号“自然”载波之间的相位差。在本题中，当参考载波从 cos(ωct+φ) 变为 cos(ωct)（相位滞后了 φ），复包络就乘以了 e^(jφ)（相位超前了 φ）来补偿，以保证最终的实信号不变。
2. 无论参考载波如何选择，希尔伯特变换在复包络域的作用始终是乘以 -j；这是一个极其强大和简洁的性质

另一种思路

1. 先求解 x(t)在$cos(2πf_c t + φ)$为参考载波下的复包络$x_{L1}(t) = I + jQ$

2. 然后根据解析信号与复包络的关系，得到解析信号

   $$x_+(t) = x_{L1}(t)e^{j(2\pi f_c t + φ)}$$

3. 将解析信号展开得到

   $$x_+(t)=(I +jQ)cos(2πf_c t + φ) + j(I + jQ)sin(2πf_c t + φ)$$

4. 将其按照实部和虚部整理

   $$[Icos(2πf_c t + φ) - Qsin(2πf_c t + φ)] + j·[Isin(2πf_c t + φ)+Qcos(2πf_c t + φ)]$$

   由

   $$x_L(t) = x(t) + j·\hat{x}(t)$$

   得到希尔伯特信号

   $$\hat{x}(t) = Isin(2πf_c t + φ)+Qcos(2πf_c t + φ)$$

5. 再根据结论：复包络域下希尔伯特变换就是乘上 -j，进而得到 $\hat{x}_{L1}(t)$

6. 然后根据解析信号的唯一性构造不同参考载波下复包络之间的关系，求得$cos(2πf_c t)$下的复包络$x_{L2}(t)$

7. 进而得到希尔伯特信号 $\hat{x}_{L2}(t)$